Ukrainian Journal of Physical Optics


2026 Volume 27, Issue 3


ISSN 1816-2002 (Online), ISSN 1609-1833 (Print)

INVESTIGATION OF NEW OPTICAL SOLUTIONS OF THE FRACTIONAL SCHRODINGER EQUATION WITH ACCOUNTING FOR THIRD-ORDER NONLINEARITY

Obiedat, S. T., Rizk, D. and Mohammed, W. W.

Author Information
1Obiedat, S. T. 2,*Rizk, D. SCOPUS logo, 1Mohammed, W. W. ORCID logo SCOPUS logo,
1Department of Mathematics, College of Science, University of Ha’il, Ha’il 2440, Saudi Arabia
2Department of Mathematics, College of Science, Qassim University, Buraydah, 51452, Saudi Arabia
* Corresponding author: d.hussien@qu.edu.sa

ABSTRACT

In this paper, we consider the quadratic–cubic nonlinear Schrödinger equation (QC-NLSE) formulated with the M-truncated derivative (MTD). By employing the F-expansion method, a variety of exact analytical solutions are obtained, including periodic, bright, kink, anti-kink, singular, and dark soliton structures. The method is shown to be systematic and effective for constructing exact solutions of nonlinear evolution equations with fractional-order characteristics. The main contribution of this work is the derivation and classification of a diverse family of wave solutions to the QC-NLSE using MTD. Graphical simulations are performed using MATLAB to illustrate the influence of the fractional parameter on the behavior of the obtained solutions. The results demonstrate that variations in this parameter lead to noticeable changes in the shape and propagation characteristics of the wave structures, while the analytical method serves to describe these properties

Keywords: M-truncated derivative, optical solitons, simulation, F-expansion method, quadratic-cubic nonlinear evolution equations

UDC: 517.958; 530.145; 517.977; 517.955

    1. Oldham, K., & Spanier, J. (1974). The fractional calculus theory and applications of differentiation and integration to arbitrary order (Vol. 111). Elsevier.
    2. Miller, K. S., Ross, B. (1993). An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations, A Wiley-Interscience Publication, John Wiley & Sons, New York, NY, USA.
    3. Podlubny, I. (1999). Fractional Differential Equations, vol. 198 of Mathematics in Science and Engineering, Academic Press, San Diego, Calif, USA.
    4. Hilfer, R. (Ed.). (2000). Applications of fractional calculus in physics. World scientific.Oustaloup, A. (1991). La Commande CRONE: Commande Robuste d'Ordre Non Entier, Editions Herm_es, Paris, France.
      doi:10.1142/3779
    5. Khan, K., Akbar M.A. (2014). The exp(-φ(ξ))-expansion method for finding travelling wave solutions of Vakhnenko-Parkes equation. International Journal of Dynamical Systems and Differential Equations, 5(1), 72-83.
      doi:10.1504/IJDSDE.2014.067119
    6. Baskonus, H.M., Bulut, H., Sulaiman T.A. (2019). New complex hyperbolic structures to the lonngren-wave equation by using sine-gordon expansion method. Applied Mathematics and Nonlinear Science, 4, 129-138.
      doi:10.2478/AMNS.2019.1.00013
    7. Yan, A (2003). Abunbant families of Jacobi elliptic function solutions of the dimensional integrable Davey-Stewartson-type equation via a new method. Chaos Solitons Fractals, 18, 299-309.
      doi:10.1016/S0960-0779(02)00653-7
    8. Lu, B. (2012). The first integral method for some time fractional differential equations. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 395, 684-693.
      doi:10.1016/j.jmaa.2012.05.066
    9. Jiong, S. (2003). Auxiliary equation method for solving nonlinear partial differential equations. Physics Letters A, 309, 387-396.
      doi:10.1016/S0375-9601(03)00196-8
    10. He, J.H., Wu, X.H. (2006). Exp-function method for nonlinear wave equations. Chaos Solitons Fractals, 30, 700-708.
      doi:10.1016/j.chaos.2006.03.020
    11. Wang, M.L., Li, X.Z., Zhang, J.L. (2008). The (G'/G)-expansion method and travelling wave solutions of nonlinear evolution equations in mathematical physics. Physics Letters A, 372, 417-423.
      doi:10.1016/j.physleta.2007.07.051
    12. Zhang, H. (2009). New application of the (G'/G)-expansion method. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 14, 3220-3225.
      doi:10.1016/j.cnsns.2009.01.006
    13. Wazwaz, A.M. (2004). The sine-cosine method for obtaining solutions with compact and noncompact structures. Applied Mathematics a Computation, 159, 559-576.
      doi:10.1016/j.amc.2003.08.136
    14. Attia, R. M. A., Khater, M. M. A., Ahmed, A. E., El-Shorbagy, M. A. (2011). Accurate sets of solitary solutions for the quadratic-cubic fractional nonlinear Schrödinger equation. AIP Advances, 11, 055105.
      doi:10.1063/5.0050624
    15. Badshah, F., Tariq, K. U., Zeeshan, M., Ahmad, H., Ismail, G. M., Khedher, K. M. (2024). On the dynamical study of the quadratic-cubic fractional nonlinear Schrödinger model in superfast fibers. Optical and Quantum Electronics, 56, 822.
      doi:10.1007/s11082-023-06234-1
    16. Islam, M.T., Aktar, M.A., et al. (2021). Further innovative optical solitons of fractional nonlinear quadratic-cubic Schrödinger equation via two techniques. Optical and Quantum Electronics, 53, 562.
      doi:10.1007/s11082-021-03223-0
    17. Riesz, M. (1939)). L'intégrale de Riemann-Liouville et le problème de Cauchy pour l'équation des ondes. Bulletin de la Société Mathématique de France, 67, 153-170.
      doi:10.24033/bsmf.1309
    18. Wang, K.L., Liu, S.Y. (2016). He's fractional derivative and its application for fractional Fornberg-Whitham equation. Thermal Science, 1, 54-54.
      doi:10.1016/j.camwa.2016.03.010
    19. Miller, S., Ross, B. (1993). An introduction to the fractional calculus and fractional differential equations. Wiley, New York, NY, USA.
    20. Caputo, M., Fabrizio M. (2015). A new definition of fractional differential without singular kernel. Progress in Fractional Differentiation & Applications, 1(2), 1-13.
    21. Sousa, J.V., de Oliveira, E.C. (2018). A new truncated Mfractional derivative type unifying some fractional derivative types with classical properties. International Journal of Analysis and Applications, 16(1), 83-96.
    22. Peng, Y. Z. (2004). Exact periodic wave solutions to the coupled Schrödinger-KdV equation and DS equations. Pramana, 62(4), 933-941.
      doi:10.1007/BF02706141
    23. Zhang D. (2005). Doubly periodic solutions of the modified Kawahara equation. Chaos Solitons Fractals, 25(5), 1155-1160, 2005.
      doi:10.1016/j.chaos.2004.11.084
    24. Liu, Q., Zhu, J.-M. (2006). Exact Jacobian elliptic function solutions and hyperbolic function solutions for Sawada-Kotere equation with variable coefficient. Physics Letters A, 352(3), 233-238.
      doi:10.1016/j.physleta.2005.12.007

    У цій статті ми розглянули квадратично-кубічне нелінійне рівняння Шредінгера (КК-НРШ), сформоване за допомогою M-усіченої похідної (МПД). Використовуючи метод F-розкладу, отримано різноманітні точні аналітичні розв'язки, включаючи періодичні, яскраві, кінкові, антикінкові, сингулярні та темні солітонні структури. Показано, що метод є системним та ефективним для побудови точних розв'язків нелінійних еволюційних рівнянь з характеристиками дробового порядку. Основний внесок цієї роботи полягає у виведенні та класифікації різноманітної родини хвильових розв'язків для КК-НРШ з МПД. Графічне моделювання виконано за допомогою MATLAB для ілюстрації впливу дробового параметра на поведінку отриманих розв'язків. Результати показують, що варіації цього параметра призводять до помітних змін у формі та особливостях поширення хвильових структур, тоді як аналітичний метод служить інструментом для опису цих властивостей.

    Ключові слова: M-усічена похідна, оптичні солітони, моделювання, метод F-розкладу, квадратично-кубічні нелінійні еволюційні рівняння

Free download this article 

This work is licensed under CC BY 4.0