Ukrainian Journal of Physical Optics


2026 Volume 27, Issue 3


ISSN 1816-2002 (Online), ISSN 1609-1833 (Print)

SOLITON PROPAGATION, MODULATION, AND STABILITY ANALYSIS OF FRACTIONAL NONLINEAR OPTICAL MODELS: A CONFORMABLE DERIVATIVE APPROACH

Mohammed, W. W., Sultan, Md. T., Rizk, D. and Ali Akbar, M.

Author Information
1,2Mohammed, W. W. ORCID logo, 3Sultan, Md. T. ORCID logo, 4*Rizk, D. SCOPUS logo, 5,6Ali Akbar, M. ORCID logo
1Department of Mathematics, College of Science, University of Ha’il, Ha’il 2440, Saudi Arabia
2Department of Mathematics, Faculty of Science, Mansoura University, Mansoura 35516, Egypt
3Department of Applied Mathematics, Gono Bishwabidyalay, Savar, Dhaka, Bangladesh
4Department of Mathematics, College of Science, Qassim University, Saudi Arabia
5Miyan Research Institute, International University of Business Agriculture and Technology, Dhaka, Bangladesh
6Department of Applied Mathematics, University of Rajshahi, Saudi Arabia
* Corresponding author: d.hussien@qu.edu.s

ABSTRACT

In this article, we establish a wide class of exact soliton solutions to the Kudryashov generalized nonlinear refractive index equation and the fractional complex Ginzburg-Landau equation. The fractional derivative provides a general mathematical framework for modeling complex dispersive and nonlinear effects in optical media. Its exact solutions help in understanding the qualitative features of wave propagation, such as stability and localization. The conformable derivative framework confirms mathematical reliability and physical applicability in modeling fractional-order dispersion and nonlinear effects. The sine-Gordon expansion (SGE) approach is used within the conformable fractional derivative framework to systematically analyze the models. The approach yields a broad spectrum of analytical solutions, including bell-shaped, anti-bell, kink, breather, cusp, W-shaped, parabolic, and singular solitons. The results show that the wave parameters, such as wave frequency, soliton shape, and amplitude, are well described by fractional order α. They provide insight into the pulse propagation and waveform characteristics in nonlinear media. Graphical representations, including two- and three-dimensional visualizations and contour plots, illustrate the amplitude, phase interplay, and structural transitions between soliton families. This study demonstrates that the SGE approach effectively generates exact solutions for fractional nonlinear evolution equations relevant to nonlinear fiber optics and other systems with complex wave interactions.

Keywords: Fractional derivative, simulation, optical solitons, nonlinear refractive index, complex Ginzburg-Landau equation, sine-Gordon expansion method

UDC: 517.958; 530.145; 517.977; 517.955

    1. Darvishi, M. T., Najafi, M., & Wazwaz, A. M. (2021). Some optical soliton solutions of space-time conformable fractional Schrödinger-type models. Physica Scripta, 96(6), 065213.
      doi:10.1088/1402-4896/abf269
    2. Akinyemi, L., Nisar, K. S., Saleel, C. A., Rezazadeh, H., Veeresha, P., Khater, M. M., & Inc, M. (2021). Novel approach to the analysis of fifth-order weakly nonlocal fractional Schrödinger equation with Caputo derivative. Results in Physics, 31, 104958.
      doi:10.1016/j.rinp.2021.104958
    3. Ali, K. K., Osman, M. S., & Abdel-Aty, M. (2020). New optical solitary wave solutions of Fokas-Lenells equation in optical fiber via Sine-Gordon expansion method. Alexandria Engineering Journal, 59(3), 1191-1196.
      doi:10.1016/j.aej.2020.01.037
    4. Yel, G., Bulut, H., & Ilhan, E. (2022). A new analytical method to the conformable chiral nonlinear Schrödinger equation in the quantum Hall effect. Pramana, 96(1), 54.
      doi:10.1007/s12043-022-02292-4
    5. Zulfiqar, A., & Ahmad, J. (2022). Dynamics of new optical solutions of fractional perturbed Schrödinger equation with Kerr law nonlinearity using a mathematical method. Optical and Quantum Electronics, 54(3), 197.
      doi:10.1007/s11082-022-03598-8
    6. Wang, L., Luan, Z., Zhou, Q., Biswas, A., Alzahrani, A. K., & Liu, W. (2021). Bright soliton solutions of the (2+ 1)-dimensional generalized coupled nonlinear Schrödinger equation with the four-wave mixing term. Nonlinear dynamics, 104(3), 2613-2620.
      doi:10.1007/s11071-021-06411-5
    7. Islam, M. E., & Akbar, M. A. (2020). Stable wave solutions to the Landau-Ginzburg-Higgs equation and the modified equal width wave equation using the IBSEF method. Arab Journal of Basic and Applied Sciences, 27(1), 270-278.
      doi:10.1080/25765299.2020.1791466
    8. Islam, M. T., Akter, M. A., Gómez-Aguilar, J. F., & Akbar, M. A. (2022). Novel and diverse soliton constructions for nonlinear space-time fractional modified Camassa-Holm equation and Schrodinger equation. Optical and Quantum Electronics, 54(4), 227.
      doi:10.1007/s11082-022-03602-1
    9. Mohammed, W. W., Iqbal, N., Sidaoui, R., & Ali, E. E. (2025). Dynamical behavior of the fractional nonlinear Kadoma equation in plasma physics and optics. Modern Physics Letters B, 39(08), 2450434.
      doi:10.1142/S0217984924504347
    10. Rezazadeh, H., Ullah, N., Akinyemi, L., Shah, A., Mirhosseini-Alizamin, S. M., Chu, Y. M., & Ahmad, H. (2021). Optical soliton solutions of the generalized non-autonomous nonlinear Schrödinger equations by the new Kudryashov's method. Results in Physics, 24, 104179.
      doi:10.1016/j.rinp.2021.104179
    11. Ali, E. E., Ennaceur, M., Mohammed, W. W., Algolam, M. S., & Ahmed, A. I. (2025). Investigation of New Optical Solutions for the Fractional Schrödinger Equation with Time-Dependent Coefficients: Polynomial, Random, Trigonometric, and Hyperbolic Functions. Fractal and Fractional, 9(3), 142.
      doi:10.3390/fractalfract9030142
    12. Obeidat, S. T., Ahmed, K. K., Ahmed, H. M., Mohammed, W. W., & Ghayad, M. S. (2025). Fractional derivative effects on exploration of soliton solutions of (3+ 1)-D Kadomtsev-Petviashvili-Sawada-Kotera-Ramani model using modified extended direct algebraic approach. Contemp. Math, 6, 5346-5367.
      doi:10.37256/cm.6420257594
    13. Mohammed, W. W., Khatun, M. M., Algolam, M. S., Sidaoui, R., & Akbar, M. A. (2025). Analytical Solitary Wave Solutions of Fractional Tzitzéica Equation Using Expansion Approach: Theoretical Insights and Applications. Fractal and Fractional, 9(7), 438.
      doi:10.3390/fractalfract9070438
    14. Nikan, O., Molavi-Arabshai, S. M., & Jafari, H. (2021). Numerical simulation of the nonlinear fractional regularized long-wave model arising in ion acoustic plasma waves. Discret. Contin. Dyn. Syst. S, 14(10), 3685-3701.
      doi:10.3934/dcdss.2020466
    15. Nikan, O., & Avazzadeh, Z. (2021). An efficient localized meshless technique for approximating nonlinear sinh-Gordon equation arising in surface theory. Engineering Analysis with Boundary Elements, 130, 268-285.
      doi:10.1016/j.enganabound.2021.05.019
    16. Rasoulizadeh, M. N., Ebadi, M. J., Avazzadeh, Z., & Nikan, O. (2021). An efficient local meshless method for the equal width equation in fluid mechanics. Engineering Analysis with Boundary Elements, 131, 258-268.
      doi:10.1016/j.enganabound.2021.07.001
    17. Li, M., Nikan, O., Qiu, W., & Xu, D. (2022). An efficient localized meshless collocation method for the two-dimensional Burgers-type equation arising in fluid turbulent flows. Engineering Analysis with Boundary Elements, 144, 44-54.
      doi:10.1016/j.enganabound.2022.08.007
    18. Safari, K., Rodriguez Vila, B., & Pierce, D. M. (2025). Automated detection of microcracks within second harmonic generation images of cartilage using deep learning. Journal of Orthopaedic Research®, 43(6), 1101-1112.
      doi:10.1002/jor.26071
    19. Arnous, A. H., Alqahtani, R. T., Ullah, M. Z., & Biswas, A. (2018). Dispersive optical solitons with DWDM technology by modified simple equation method. Optoelectronics and Advanced Materials, Rapid Communications, 12(7-8), 431-435.
    20. Arnous, A. H., Biswas, A., Ekici, M., Alzahrani, A. K., & Belic, M. R. (2021). Optical solitons and conservation laws of Kudryashov's equation with improved modified extended tanh-function. Optik, 225, 165406.
      doi:10.1016/j.ijleo.2020.165406
    21. Biswas, A., Yildirim, Y., Yasar, E., Triki, H., Alshomrani, A. S., Ullah, M. Z., ... & Belic, M. (2018). Optical soliton perturbation with full nonlinearity for Kundu-Eckhaus equation by modified simple equation method. Optik, 157, 1376-1380.
      doi:10.1016/j.ijleo.2017.12.108
    22. Biswas, A., Ekici, M., Sonmezoglu, A., & Kara, A. H. (2019). Optical solitons and conservation law in birefringent fibers with Kundu-Eckhaus equation by extended trial function method. Optik, 179, 471-478.
      doi:10.1016/j.ijleo.2018.10.198
    23. Zayed, E. M., Alngar, M. E., El-Horbaty, M., Biswas, A., Alshomrani, A. S., Khan, S., ... & Triki, H. (2020). Optical solitons in fiber Bragg gratings having Kerr law of refractive index with extended Kudryashov's method and new extended auxiliary equation approach. Chinese Journal of Physics, 66, 187-205.
      doi:10.1016/j.cjph.2020.04.003
    24. Zayed, E. M., Alngar, M. E., Biswas, A., Asma, M., Ekici, M., Alzahrani, A. K., & Belic, M. R. (2020). Solitons in magneto-optic waveguides with Kudryashov's law of refractive index. Chaos, Solitons & Fractals, 140, 110129.
      doi:10.1016/j.chaos.2020.110129
    25. Zayed, E. M., Al-Nowehy, A. G., Alngar, M. E., Biswas, A., Asma, M., Ekici, M., ... & Belic, M. R. (2021). Highly dispersive optical solitons in birefringent fibers with four nonlinear forms using Kudryashov's approach. Journal of Optics, 50(1), 120-131.
      doi:10.1007/s12596-020-00668-6
    26. Yıldırım, Y., Biswas, A., Kara, A. H., Ekici, M., Alzahrani, A. K., & Belic, M. R. (2021). Cubic-quartic optical soliton perturbation and conservation laws with generalized Kudryashov's form of refractive index. Journal of Optics, 50(3), 354-360.
      doi:10.1007/s12596-021-00681-3
    27. El-Sheikh, M. M. A., Ahmed, H. M., Arnous, A. H., Rabie, W. B., Biswas, A., Alshomrani, A. S., ... & Belic, M. R. (2019). Optical solitons in birefringent fibers with Lakshmanan-Porsezian-Daniel model by modified simple equation. Optik, 192, 162899.
      doi:10.1016/j.ijleo.2019.05.105
    28. Elsherbeny, A. M., El-Barkouky, R., Ahmed, H. M., Arnous, A. H., El-Hassani, R. M., Biswas, A., ... & Alshomrani, A. S. (2021). Optical soliton perturbation with Kudryashov's generalized nonlinear refractive index. Optik, 240, 166620.
      doi:10.1016/j.ijleo.2021.166620
    29. Murad, M. A. S. (2024). Optical solutions with Kudryashov's arbitrary type of generalized non-local nonlinearity and refractive index via the new Kudryashov approach. Optical and Quantum Electronics, 56(6), 999.
      doi:10.1007/s11082-024-06820-x
    30. Rizvi, S. T., Seadawy, A. R., & Akram, U. (2022). New dispersive optical soliton for an nonlinear Schrödinger equation with Kudryashov law of refractive index along with P-test. Optical and Quantum Electronics, 54(5), 310.
      doi:10.1007/s11082-022-03711-x
    31. Elsherbeny, A. M., Elsonbaty, N. M., Badra, N. M., Ahmed, H. M., Mirzazadeh, M., Eslami, M., ... & Bayram, M. (2024). Optical solitons of higher order mathematical model with refractive index using Kudryashov method. Optical and Quantum Electronics, 56(6), 935.
      doi:10.1007/s11082-024-06846-1
    32. Fahad, A., Boulaaras, S. M., Rehman, H. U., Iqbal, I., Saleem, M. S., & Chou, D. (2023). Analysing soliton dynamics and a comparative study of fractional derivatives in the nonlinear fractional Kudryashov's equation. Results in Physics, 55, 107114.
      doi:10.1016/j.rinp.2023.107114
    33. Murad, M. A. S., Arnous, A. H., Faridi, W. A., Iqbal, M., Nisar, K. S., & Kumar, S. (2024). Two distinct algorithms for conformable time-fractional nonlinear Schrödinger equations with Kudryashov's generalized non-local nonlinearity and arbitrary refractive index. Optical and Quantum Electronics, 56(8), 1320.
      doi:10.1007/s11082-024-07223-8
    34. Doering, C. R., Gibbon, J. D., Holm, D. D., & Nicolaenko, B. (1988). Low-dimensional behaviour in the complex Ginzburg-Landau equation. Nonlinearity, 1(2), 279-309.
      doi:10.1088/0951-7715/1/2/001
    35. Weitzner, H., & Zaslavsky, G. M. (2003). Some applications of fractional equations. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 8(3-4), 273-281.
      doi:10.1016/S1007-5704(03)00049-2
    36. Al-Ghafri, K. S. (2020). Soliton behaviours for the conformable space-time fractional complex Ginzburg-Landau equation in optical fibers. Symmetry, 12(2), 219.
      doi:10.3390/sym12020219
    37. Huang, C., & Li, Z. (2021). New exact solutions of the fractional complex Ginzburg-Landau equation. Mathematical Problems in Engineering, 2021(1), 6640086.
      doi:10.1155/2021/6640086
    38. Akram, G., Arshed, S., Sadaf, M., & Farooq, K. (2023). A study of variation in dynamical behavior of fractional complex Ginzburg-Landau model for different fractional operators. Ain Shams Engineering Journal, 14(9), 102120.
      doi:10.1016/j.asej.2023.102120
    39. Siddique, I., Mehdi, K. B., Eldin, S. M., & Zafar, A. (2023). Diverse optical solitons solutions of the fractional complex Ginzburg-Landau equation via two altered methods. Applied Mathematics for Modern Challenges, 8(5).
      doi:10.3934/math.2023581
    40. Leta, T. D., Chen, J., & El Achab, A. (2023). Innovative solutions and sensitivity analysis of a fractional complex Ginzburg-Landau equation. Optical and Quantum Electronics, 55(10), 931.
      doi:10.1007/s11082-023-05153-5
    41. Murad, M. A. S., Ismael, H. F., Hamasalh, F. K., Shah, N. A., & Eldin, S. M. (2023). Optical soliton solutions for time-fractional Ginzburg-Landau equation by a modified sub-equation method. Results in Physics, 53, 106950.
      doi:10.1016/j.rinp.2023.106950
    42. Akram, G., Sadaf, M., & Mariyam, H. (2022). A comparative study of the optical solitons for the fractional complex Ginzburg-Landau equation using different fractional differential operators. Optik, 256, 168626.
      doi:10.1016/j.ijleo.2022.168626
    43. Zafar, A., Shakeel, M., Ali, A., Akinyemi, L., & Rezazadeh, H. (2022). Optical solitons of nonlinear complex Ginzburg-Landau equation via two modified expansion schemes. Optical and Quantum Electronics, 54(1), 5.
      doi:10.1007/s11082-021-03393-x
    44. Sadaf, M., Akram, G., & Dawood, M. (2022). An investigation of fractional complex Ginzburg-Landau equation with Kerr law nonlinearity in the sense of conformable, beta and M-truncated derivatives. Optical and Quantum Electronics, 54(4), 248.
      doi:10.1007/s11082-022-03570-6
    45. Ismael, H. F., Bulut, H., & Baskonus, H. M. (2020). Optical soliton solutions to the Fokas-Lenells equation via sine-Gordon expansion method and (m+(G′/G))-expansion method. Pramana, 94(1), 35.
      doi:10.1007/s12043-019-1897-x
    46. Ananna, S. N., An, T., Asaduzzaman, M., & Rana, M. S. (2022). Sine-Gordon expansion method to construct the solitary wave solutions of a family of 3D fractional WBBM equations. Results in Physics, 40, 105845.
      doi:10.1016/j.rinp.2022.105845
    47. Kumar, D., Hosseini, K., & Samadani, F. (2017). The sine-Gordon expansion method to look for the traveling wave solutions of the Tzitzéica type equations in nonlinear optics. Optik, 149, 439-446.
      doi:10.1016/j.ijleo.2017.09.066
    48. Korkmaz, A., Hepson, O. E., Hosseini, K., Rezazadeh, H., & Eslami, M. (2020). Sine-Gordon expansion method for exact solutions to conformable time fractional equations in RLW-class. Journal of King Saud University-Science, 32(1), 567-574.
      doi:10.1016/j.jksus.2018.08.013
    49. Kayum, M. A., Ara, S., Osman, M. S., Akbar, M. A., & Gepreel, K. A. (2021). Onset of the broad-ranging general stable soliton solutions of nonlinear equations in physics and gas dynamics. Results in Physics, 20, 103762.
      doi:10.1016/j.rinp.2020.103762
    50. Darvishi, M. T., Najafi, M., & Wazwaz, A. M. (2021). Conformable space-time fractional nonlinear (1+ 1)-dimensional Schrödinger-type models and their traveling wave solutions. Chaos, Solitons & Fractals, 150, 111187.
      doi:10.1016/j.chaos.2021.111187
    51. Khalil, R., Al Horani, M., Yousef, A., & Sababheh, M. (2014). A new definition of fractional derivative. Journal of Computational and Applied Mathematics, 264, 65-70.
      doi:10.1016/j.cam.2014.01.002

    У цій статті ми встановлюємо широкий клас точних солітонних розв'язків узагальненого нелінійного рівняння показника заломлення Кудряшова та дробового комплексного рівняння Гінзбурга-Ландау. Дробова похідна забезпечує узагальнену математичну основу для моделювання складних дисперсійних та нелінійних ефектів в оптичних середовищах. Її точні розв'язки допомагають зрозуміти якісні особливості поширення хвиль, такі як стабільність та локалізація. Структура конформних похідних підтверджує математичну надійність та фізичну застосовність при моделюванні дисперсії дробового порядку та нелінійних ефектів. Підхід розкладання синус-Гордона (SGE) використовується в рамках структури конформних дробових похідних для систематичного аналізу моделей. Цей підхід дає широкий спектр аналітичних розв'язків, включаючи дзвоноподібні, антидзвіноподібні, кінкові, бризерні, гострі, W-подібні, параболічні та сингулярні солітони. Результати показують, що параметри хвилі, такі як частота хвилі, форма солітона та амплітуда, добре описуються дробовим порядком α. Вони дають уявлення про поширення імпульсів та характеристики форми хвилі в нелінійних середовищах. Графічні представлення, включаючи дво- та тривимірні та контурні візуалізації, ілюструють амплітуду, фазову взаємодію та структурні переходи між сімействами солітонів. Це дослідження демонструє, що підхід SGE ефективно генерує точні розв'язки для дробово-нелінійних еволюційних рівнянь, що стосуються нелінійної волоконної оптики та інших систем зі складними хвильовими взаємодіями.

    Ключові слова: дробова похідна, моделювання, оптичні солітони, нелінійний показник заломлення, комплексне рівняння Гінзбурга-Ландау, метод розкладу синус-Гордона

Free download this article 

This work is licensed under CC BY 4.0