Ukrainian Journal of Physical Optics


2026 Volume 27, Issue 3


ISSN 1816-2002 (Online), ISSN 1609-1833 (Print)

HIGHLY DISPERSIVE OPTICAL SOLITONS WITH DIFFERENTIAL GROUP DELAY AND MULTIPLICATIVE WHITE NOISE HAVING KERR LAW OF SELF-PHASE MODULATION

Ahmed S.M. Metwally, Mohamed E.M. Alngar, Reham M.A. Shohib, Syed A.A. Shah, Anjan Biswas

Author Information
1Metwally, A.S.M. SCOPUS logo, 2Alngar, M.E.M. ORCID logo SCOPUS logo, 3Shohib, R.M.A. SCOPUS logo, 4Shah, S.A.A. SCOPUS logo, 5,6,7,8,9*Biswas, A. SCOPUS logo
1Center of Excellence for Research in Science and Mathematics Education Development, DSR, King Saud University, P.O. Box 11451, Riyadh, Saudi Arabia
2Mathematics Education Program, Faculty of Education and Arts, Sohar University, Sohar 311, Oman
3Basic Science Department, Faculty of Economics and Business Administration, Innovation University, Sharqia, Egypt
4Department of Modern Mechanics, School of Engineering Science, University of Science and Technology of China, Hefei, 230026, China
5Department of Mathematics & Physics, Grambling State University, Grambling, LA 71245–2715, USA
6Department of Mathematics, Faculty of Science, Karadeniz Technical University, Trabzon–61080, Turkiye
7Department of Physics and Electronics, Khazar University, Baku, AZ–1096, Azerbaijan
8Applied Science Research Center, Applied Science Private University, Amman–11937, Jordan
9Department of Mathematics and Applied Mathematics, Sefako Makgatho Health Sciences University, Medunsa–0204, Pretoria, South Africa
* Corresponding author: biswas.anjan@gmail.com

ABSTRACT

This work presents a comprehensive analytical investigation of stochastic optical solitons propagating in highly dispersive birefringent fibers governed by Kerr-law refractive-index nonlinearity in the Itô sense. Starting from a coupled stochastic nonlinear Schrödinger system including high-order dispersion, cross-phase modulation, and Wiener-induced phase fluctuations, a traveling-wave reduction is employed to obtain a deterministic ordinary differential equation for the soliton envelopes after imposing appropriate constraint conditions. Using the modified subsidiary ordinary differential equation sub-ODE method, we derive several families of exact closed-form solutions, including bright, dark, singular, and Weierstrass elliptic structures, together with their corresponding existence conditions. The bright and dark soliton solutions are subsequently analyzed to illustrate the effects of stochastic perturbation. The analytical results reveal how the hierarchy of higher-order dispersion interacts with Kerr nonlinearity to stabilize localized waveforms, while the Itô stochastic term modifies only the internal phase without affecting the soliton modulus. Furthermore, the obtained soliton families satisfy the derived stability conditions, demonstrating that the envelope profiles remain robust despite the presence of multiplicative white noise. These findings provide new insight into noise-driven nonlinear wave propagation in birefringent optical fibers and offer exact analytical benchmarks for ultrafast photonics, nonlinear pulse management, and stochastic optical systems.

Keywords: optical solitons, high-order dispersion, birefringent fibers, Kerr nonlinearity, Ito calculus, stochastic nonlinear Schrodinger equation, modified method of subsidiary ordinary differential equation

UDC: 535.3

    1. Hasegawa, A., & Kodama, Y. (1995). Solitons in optical communications. Oxford University Press.‏
      doi:10.1093/oso/9780198565079.001.0001
    2. Agrawal, G.P. (2000). Nonlinear Fiber Optics. In: Christiansen, P.L., Sørensen, M.P., Scott, A.C. (eds) Nonlinear Science at the Dawn of the 21st Century. Lecture Notes in Physics, vol 542. Springer, Berlin, Heidelberg.
      doi:10.1007/3-540-46629-0_9
    3. Kivshar, Y. S., & Agrawal, G. P. (2003). Optical solitons: from fibers to photonic crystals. Academic press.‏
    4. Gordon, J. P. (1987, April). Solitons in optical fibers. In International Quantum Electronics Conference (p. WBB2). Optica Publishing Group.‏
    5. Akhmediev, N., Ankiewicz, A., & Soto-Crespo, J. M. (2009). Rogue waves and rational solutions of the nonlinear Schrödinger equation. Physical Review E—Statistical, Nonlinear, and Soft Matter Physics, 80(2), 026601.‏
      doi:10.1103/PhysRevE.80.026601
    6. Balla, P., & Agrawal, G. P. (2018). Vector solitons and dispersive waves in birefringent optical fibers. Journal of the Optical Society of America B, 35(9), 2302-2310.‏
      doi:10.1364/JOSAB.35.002302
    7. Balla, P., & Agrawal, G. P. (2018). Nonlinear interaction of vector solitons inside birefringent optical fibers. Physical Review A, 98(2), 023822.‏
      doi:10.1103/PhysRevA.98.023822
    8. Tanemura, T., & Kikuchi, K. (2006). Circular-birefringence fiber for nonlinear optical signal processing. Journal of lightwave technology, 24(11), 4108-4119.‏ https://opg.optica.org/jlt/abstract.cfm?URI=jlt-24-11-4108
    9. Latas, S. C., Ferreira, M. F. S., & Facão, M. (2017). Ultrashort high-amplitude dissipative solitons in the presence of higher-order effects. Journal of the Optical Society of America B, 34(5), 1033-1040.‏
      doi:10.1364/JOSAB.34.001033
    10. Abdelwahed, H. G., Alsarhana, A. F., El-Shewy, E. K., & Abdelrahman, M. A. (2023). Higher-order dispersive and nonlinearity modulations on the propagating optical solitary breather and super huge waves. Fractal and Fractional, 7(2), 127.‏
      doi:10.3390/fractalfract7020127
    11. Li, M., Xu, T., & Wang, L. (2015). Dynamical behaviors and soliton solutions of a generalized higher-order nonlinear Schrödinger equation in optical fibers. Nonlinear Dynamics, 80(3), 1451-1461.‏
      doi:10.1007/s11071-015-1954-z
    12. Zhou, Q., Zhu, Q., Liu, Y., Yu, H., Yao, P., & Biswas, A. (2015). Thirring optical solitons in birefringent fibers with spatio-temporal dispersion and Kerr law nonlinearity. Laser Physics, 25(1), 015402.‏
      doi:10.1088/1054-660X/25/1/015402
    13. Biswas, A., Triki, H., Zhou, Q., Moshokoa, S. P., Ullah, M. Z., & Belic, M. (2017). Cubic–quartic optical solitons in Kerr and power law media. Optik, 144, 357-362.‏
      doi:10.1016/j.ijleo.2017.07.008
    14. Roshid, M. M., & Rahman, M. M. (2024). Bifurcation analysis, modulation instability and optical soliton solutions and their wave propagation insights to the variable coefficient nonlinear Schrödinger equation with Kerr law nonlinearity. Nonlinear Dynamics, 112(18), 16355-16377.‏
      doi:10.1007/s11071-024-09872-6
    15. Afsar, H., Peiwei, G., Alshamrani, A., Aldandani, M., Alam, M. M., & Aljohani, A. F. (2024). Dimensionless dynamics: Multipeak and envelope solitons in perturbed nonlinear Schrödinger equation with Kerr law nonlinearity. Physics of Fluids, 36(6).
      doi:10.1063/5.0215021
    16. Sağlam, F. N. K., Kopçasız, B., & Ahmed, K. K. (2026). Exploration of different soliton solutions for the stochastic davey–stewartson model under the influence of noise. Archives of Computational Methods in Engineering, 33(1), 1159-1179.‏
      doi:10.1007/s11831-025-10331-7
    17. Liu, J., Li, M., He, J., Song, Y., & Wang, Z. (2023). Noisy soliton pulsation and its dynamics in a mid-infrared ultrafast fiber laser. Chaos, solitons & fractals, 177, 114199.‏
      doi:10.1016/j.chaos.2023.114199
    18. Mshary, N., Bossly, R., & Ahmed, H. M. (2025). Noise effects on soliton structures of nonlinear Schrödinger equation with generalized Kudryashov’s law non-linearity using modified extended mapping technique. Scientific Reports, 15(1), 36949.‏
      doi:10.1038/s41598-025-20880-3
    19. Abdelwahed, H. G., El-Shewy, E. K., Abdelrahman, M. A., & Alghanim, S. S. (2023). The noise sense effects on the characteristic nonlinearly Schrödinger equation solitary propagations. Journal of Low Frequency Noise, Vibration and Active Control, 42(2), 818-825.‏
      doi:10.1177/14613484221122114
    20. 20 Albayrak, P., Ozisik, M., Secer, A., Bayram, M., & Das, S. E. (2024). Optical solitons of stochastic perturbed Radhakrishnan–Kundu–Lakshmanan model with Kerr law of self-phase-modulation. Modern Physics Letters B, 38(15), 2450122.‏
      doi:10.1142/S0217984924501227
    21. Wali, S., Munawar, M., Abdelkader, A., Jhangeer, A., & Imran, M. (2025). Nonlinear stochastic dynamics of the intermediate dispersive velocity equation with soliton stability and chaos. Entropy, 27(11), 1176.‏
      doi:10.3390/e27111176
    22. Shehzad, K., Wang, J., Seadawy, A. R., Arshad, M., & Ahmed, I. (2024). Dynamic description of soliton solutions of nonlinear schrödinger equation with higher order dispersion and nonlinear terms. Physica Scripta, 99(12), 125284.‏
      doi:10.1088/1402-4896/ad935a
    23. Fan, W., Liang, Y., & Han, T. (2024). Novel insights into high-order dispersion and soliton dynamics in optical fibers via the perturbed Schrödinger–Hirota equation. Scientific Reports, 14(1), 31055.‏
      doi:10.1038/s41598-024-82255-4
    24. Li, Z. L. (2010). Periodic wave solutions of a generalized KdV-mKdV equation with higher-order nonlinear terms. Zeitschrift für Naturforschung A, 65(8-9), 649-657.‏
      doi:10.1515/zna-2010-8-905
    25. Zayed, E. M., & Alngar, M. E. (2020). Application of newly proposed sub-ODE method to locate chirped optical solitons to Triki–Biswas equation. Optik, 207, 164360.‏
      doi:10.1016/j.ijleo.2020.164360
    26. Zayed, E. M., Al-Nowehy, A. G., Alngar, M. E., Biswas, A., Asma, M., Ekici, M., ... & Belic, M. R. (2021). Highly dispersive optical solitons in birefringent fibers with four nonlinear forms using Kudryashov’s approach. Journal of Optics, 50(1), 120-131.‏
      doi:10.1007/s12596-020-00668-6
    27. Gonzalez-Gaxiola, O., Biswas, A., Yildirim, Y., & Alshehri, H. M. (2022). Highly dispersive optical solitons in birefringent fibers having Kerr law of refractive index by Laplace–Adomian decomposition. Optik, 257, 168788.‏
      doi:10.1016/j.ijleo.2022.168788
    28. Yıldırım, Y., Biswas, A., Ekici, M., Zayed, E. M., Khan, S., Moraru, L., ... & Belic, M. R. (2020). Highly dispersive optical solitons in birefringent fibers with four forms of nonlinear refractive index by three prolific integration schemes. Optik, 220, 165039.‏
      doi:10.1016/j.ijleo.2020.165039

    У цій роботі представлено комплексне аналітичне дослідження стохастичних оптичних солітонів, що поширюються у високодисперсійних двопроменезаломлюючих волокнах, регульованих нелінійністю показника заломлення за законом Керра в сенсі Іто. Починаючи зі зв'язаної стохастичної нелінійної системи Шредінгера, що включає дисперсію високого порядку, крос-фазову модуляцію та фазові флуктуації, індуковані Вінером, для отримання детермінованого звичайного диференціального рівняння для обвідних солітонів після накладання відповідних умов обмеження використовується редукція біжучої хвилі. Використовуючи модифікований метод допоміжного звичайного диференціального рівняння (допоміжне ЗДУ), ми отримуємо кілька сімейств точних розв'язків замкнутої форми, включаючи яскраві, темні, сингулярні та еліптичні структури Вейєрштрасса, разом з їхніми відповідними умовами існування. Згодом аналізуються яскраві та темні солітонні розв'язки для ілюстрації впливу стохастичного збурення. Аналітичні результати показують, як ієрархія дисперсії вищого порядку взаємодіє з нелінійністю Керра для стабілізації локалізованих хвильових форм, тоді як стохастичний член Іто модифікує лише внутрішню фазу, не впливаючи на модуль солітона. Крім того, отримані сімейства солітонів задовольняють умови стійкості, демонструючи, що профілі обвідної залишаються стійкими, незважаючи на наявність мультиплікативного білого шуму. Ці результати дають нове розуміння поширення нелінійних хвиль, зумовлених шумом, у двопроменезаломлюючих оптичних волокнах та пропонують точні аналітичні орієнтири для надшвидкої фотоніки, нелінійного керування імпульсами та стохастичних оптичних систем.

    Ключові слова: оптичні солітони, дисперсія високого порядку, двопроменезаломлюючі волокна, нелінійність Керра, числення Іто, стохастичне нелінійне рівняння Шредінгера, модифікований метод допоміжного звичайного диференціального рівняння

Free download this article 

This work is licensed under CC BY 4.0