Ukrainian Journal of Physical Optics


2026 Volume 27, Issue 3


ISSN 1816-2002 (Online), ISSN 1609-1833 (Print)

EXACT SOLUTIONS AND DYNAMICAL BEHAVIOR OF THE FRACTIONAL PURE-QUARTIC NONLINEAR SCHRODINGER EQUATION

Sofian T. Obiedat, and Doaa Rizk

Author Information
Sofian T. Obiedat ORCID logo SCOPUS logo, Doaa Rizk SCOPUS logo
1Department of Mathematics, College of Science, University of Ha’il, Ha’il 2440, Saudi Arabia
2Department of Mathematics, College of Science, Qassim University, Saudi Arabia
*Corresponding Author’s Email: d.hussien@qu.edu.sa

ABSTRACT

The fractional pure-quartic nonlinear Schrödinger equation (FPQNLSE) plays an important role in modeling nonlinear wave propagation in complex dispersive media where quartic dispersion dominates the conventional second-order effects. This model has significant applications in nonlinear optics, optical fibers, plasma physics, and other systems with memory and nonlocal properties. In this work, exact analytical solutions of the FPQNLSE with the M-truncated fractional derivative are obtained using the mapping method. Different types of solutions, including elliptic, rational, trigonometric, and hyperbolic forms, are derived. These solutions provide important insights into nonlinear phenomena such as optical pulse propagation, signal transmission, and solitary-wave dynamics. Moreover, MATLAB simulations are presented to illustrate the physical behavior of the obtained solutions and to investigate the influence of the fractional-order parameter on wave propagation.

Keywords: Schrodinger equation, optical solitons, M-truncated derivative, exact solutions, simulation, mapping method

UDC: 535.3

    1. Oldham, K. B., & Spanier, J. (1974). The fractional calculus: Theory and applications of differentiation and integration to arbitrary order (Mathematics in Science and Engineering, Vol. 111). Academic Press.
    2. Miller, K. S., & Ross, B. (1993). An introduction to fractional calculus and fractional differential equations. John Wiley & Sons.
    3. Podlubny, I. (1999). Fractional differential equations (Mathematics in Science and Engineering, Vol. 198). Academic Press.
    4. Hilfer, R. (Ed.). (2000). Applications of fractional calculus in physics. World Scientific.
      doi:10.1142/3779
    5. Oustaloup, A. (1991). La commande CRONE: Commande robuste d'ordre non entier. Éditions Hermès.
    6. Liu, X. (2018). The traveling wave solutions of space-time fractional differential equation using fractional Riccati expansion method. Journal of Applied Mathematics and Physics, 6, 1957-1967.
      doi:10.4236/jamp.2018.610167
    7. Ala, V., & Shaikhova, G. (2022). Analytical solutions of nonlinear beta fractional Schrödinger equation via sine-cosine method. Lobachevskii Journal of Mathematics, 43, 3033-3038.
      doi:10.1134/S1995080222140025
    8. Gasimov, Y., Manafian, J., & Aliyeva, A. (2025). New approach of (G′/G)-expansion method to solve fractional differential equations arising in fluid mechanics. Journal of Contemporary Applied Mathematics, 15, 124-141.
      doi:10.62476/jcam.151.20
    9. Bin, Z. (2012). New application of the (G′/G)-expansion method for solving fractional partial differential equations in the theory of mathematical physics. Communications in Theoretical Physics, 58, 623.
      doi:10.1088/0253-6102/58/5/02
    10. Mohammed, W. W., Cesarano, C., & Al-Askar, F. M. (2022). Solutions to the (4+1)-dimensional time-fractional Fokas equation with M-truncated derivative. Mathematics, 11, 194.
      doi:10.3390/math11010194
    11. Lu, B. (2012). The first integral method for some time fractional differential equations. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 395(2), 684-693.
      doi:10.1016/j.jmaa.2012.05.066
    12. Zheng, B. (2013). Exp-function method for solving fractional partial differential equations. Scientific World Journal, 2013, 465723.
      doi:10.1155/2013/465723
    13. Selvaraj, R., Venkatraman, S., Ashok, D. D., & Krishnaraja, K. (2020). Exact solutions of time-fractional generalised Burgers-Fisher equation using generalised Kudryashov method. Pramana-Journal of Physics, 94, 137.
      doi:10.1007/s12043-020-02001-z
    14. Zheng, B., & Feng, Q. (2014). The Jacobi elliptic equation method for solving fractional partial differential equations. Abstract and Applied Analysis, 2014, 49071.
      doi:10.1155/2014/249071
    15. Al-Mamun, A., Ananna, S. N., An, T., Asaduzzaman, M., & Rana, M. S. (2022). Sine-Gordon expansion method to construct the solitary wave solutions of a family of 3D fractional WBBM equations. Results in Physics, 40, 105845.
      doi:10.1016/j.rinp.2022.105845
    16. Soliman, M., Ahmed, H. M., Badra, N., Ramadan, M. E., Samir, I., & Alkhatib, S. (2025). Influence of the β-fractional derivative on optical soliton solutions of the pure-quartic nonlinear Schrödinger equation with weak nonlocality. AIMS Math, 10(3), 7489-7508.
      doi:10.3934/math.2025344
    17. Triki, H., Pan, A., & Zhou, Q. (2023). Pure-quartic solitons in presence of weak nonlocality. Physics Letters A, 459, 128608.
      doi:10.1016/j.physleta.2022.128608
    18. Vivas-Cortez, M., Basendwah, G. A., Rani, B., & Raza, N. (2024). Extraction of new solitary wave solutions in a generalized nonlinear Schrödinger equation comprising weak nonlocality. PLOS ONE, 19, e0297898.
      doi:10.1371/journal.pone.0297898
    19. Dai, J., Zeng, J., Hu, W., & Lu, D. (2022). The bound states of pure-quartic solitons. Chaos, Solitons & Fractals, 165, 112867.
      doi:10.1016/j.chaos.2022.112867
    20. Tam, K. K. K., Alexander, T. J., Blanco-Redondo, A., & de Sterke, C. M. (2019). Stationary and dynamical properties of pure-quartic solitons. Optics Letters, 44, 3306-3309.
      doi:10.1364/OL.44.003306
    21. Deng, Z., Ma, R., Zhang, C., Malomed, B., Fan, D., He, J., & Liu, J. (2025). Internal dynamics and fission of pure-quartic soliton molecules. Physical Review A, 111, 063503.
      doi:10.1103/PhysRevA.111.063503
    22. Soltani, M., Triki, H., Azzouzi, F., Sun, Y., Biswas, A., Yıldırım, Y., ... & Zhou, Q. (2023). Pure-quartic optical solitons and modulational instability analysis with cubic-quintic nonlinearity. Chaos, Solitons & Fractals, 169, 113212.
      doi:10.1016/j.chaos.2023.113212
    23. Mao, J. J., Tian, S. F., Zhang, T. T., & Yan, X. J. (2019). Modulation instability analysis of the generalized nonlinear Schrödinger equation and its bright, dark and complexiton soliton solutions. Optik, 183, 381-388.
      doi:10.1016/j.ijleo.2019.02.027
    24. Wazwaz, A. M. (2006). Exact solutions for the fourth-order nonlinear Schrödinger equations with cubic and power-law nonlinearities. Mathematical and Computer Modelling, 43, 802-808.
      doi:10.1016/j.mcm.2005.08.010
    25. Gambo, Y. Y., Jarad, F., Baleanu, D., & Abdeljawad, T. (2014). On Caputo modification of the Hadamard fractional derivatives. Advances in Difference Equations, 2014(1), 10.
      doi:10.1186/1687-1847-2014-10
    26. Jumarie, G. (2007). Fractional partial differential equations and modified Riemann-Liouville derivatives: Method for solution. Journal of Applied Mathematics and Computing, 24, 31-48.
      doi:10.1007/BF02832299
    27. Bilal, M., Ren, J., & Younas, U. (2021). Stability analysis and optical soliton solutions to the nonlinear Schrödinger model with efficient computational techniques. Optical and Quantum Electronics, 53, 406.
      doi:10.1007/s11082-021-03040-5
    28. Sousa, J. V., & de Oliveira, E. C. (2018). A new truncated M-fractional derivative type unifying some fractional derivative types with classical properties. International Journal of Analysis and Applications, 16(1), 83-96.
    29. Peng, Y. Z. (2003). Exact solutions for some nonlinear partial differential equations. Physics Letters A, 314(5-6), 401-408.
      doi:10.1016/S0375-9601(03)00909-5

    Дробове чисто-квартичне нелінійне рівняння Шредінгера (FPQNLSE) відіграє важливу роль у моделюванні нелінійного поширення хвиль у складних дисперсійних середовищах, де квартична дисперсія домінує над традиційними ефектами другого порядку. Ця модель має значне застосування в нелінійній оптиці, оптичних волокнах, фізиці плазми та інших системах з властивостями пам'яті та нелокальними властивостями. У цій роботі отримано точні аналітичні розв'язки FPQNLSE з M-усіченою дробовою похідною за допомогою методу відображення. Отримано різні типи розв'язків, включаючи еліптичні, раціональні, тригонометричні та гіперболічні форми. Ці розв'язки надають важливе розуміння нелінійних явищ, таких як поширення оптичних імпульсів, передача сигналів та динаміка одиночних хвиль. Крім того, представлено моделювання в MATLAB для ілюстрації фізичної поведінки отриманих розв'язків та дослідження впливу параметра дробового порядку на поширення хвиль.

    Ключові слова: рівняння Шредінгера, оптичні солітони, M-усічена похідна, точні розв'язки, моделювання, метод відображення

Free download this article 

This work is licensed under CC BY 4.0