Ukrainian Journal of Physical Optics


2026 Volume 27, Issue 2


ISSN 1816-2002 (Online), ISSN 1609-1833 (Print)

ANALYTICAL STUDY OF OPTICAL SOLITONS OF THE SPACE-TIME FRACTIONAL NONLINEAR SCHRODINGER EQUATIONS WITH KUDRYASHOV'S REFRACTIVE INDEX

Mohammed, W. W., Sultan, Md. T., Algolam, M. S., Akbar, M. A. and Sidaoui, R.

Author Information
1Mohammed, W. W. ORCID logo , 2Sultan, Md. T. ORCID logo , 1Algolam, M. S. ORCID logo , 3,4,*Akbar, M. A. ORCID logo , 1Sidaoui, R. ORCID logo
1Department of Mathematics, College of Science, University of Ha’il, Ha’il 2440, Saudi Arabia
2Department of Applied Mathematics, Gono Bishwabidyalay, Savar, Dhaka, Bangladesh
3Miyan Research Institute, International University of Business Agriculture and Technology, Dhaka, Bangladesh
4Department of Applied Mathematics, University of Rajshahi, Bangladesh
*Corresponding Author: ali_math74@yahoo.com

ABSTRACT

In this article, we investigate the analytical optical solitons of two variants of the space-time fractional nonlinear Schrödinger equation, including Kudryashov’s arbitrary refractive index. The models are formulated using the β-fractional derivative, which preserves the basic properties of classical calculus. The sine-Gordon expansion approach is used to originate exact and assorted soliton solutions, including complex, hyperbolic, and trigonometric forms. The obtained solutions describe a wide range of soliton structures, such as bright, dark, cuspon, kink, anti-kink, parabolic, and breather waves. A detailed parametric analysis shows that the fractional-order and nonlinear coefficients significantly affect the soliton amplitude, width, and propagation dynamics. The graphical simulations further confirm the stability and rich structural diversity of the solutions. The comparative results demonstrate that the sine-Gordon expansion approach is competent, accurate, and widely applicable. It also provides physically meaningful wave structures that are better than several existing techniques reported in the literature. The findings highlight the effectiveness of the proposed framework for modeling nonlinear pulse propagation in fractional optical fiber systems and related applications in nonlinear optics.

Keywords: Fractional nonlinear Schrodinger equation, β-fractional derivative, Sine-Gordon expansion approach, optical solitons, Kudryashov's refractive index

UDC: 517.958; 530.145; 517.955

    1. Murad, M. A. S. (2023). New optical soliton solutions for time-fractional Kudryashov's equation in optical fiber. Optik, 283, 170897.
      doi:10.1016/j.ijleo.2023.170897
    2. Zhang, G., Li, W., Yu, M., Huang, H., Wang, Y., Han, Z., Shi, K., Ma, L., Yu, Z., Zhu, X., Peng, Z., Xu, Y., Li, X., Hu, S., He, J., Li, D., Xi, Y., Lan, H., Xu, L., Tang, M., Xiao, M. (2023). Electric-field-driven printed 3D highly ordered microstructure with cell feature size promotes the maturation of engineered cardiac tissues. Advanced Science, 10(11), 2206264.
      doi:10.1002/advs.202206264
    3. Murad, M. A. S., Hamasalh, F. K., & Ismael, H. F. (2024). Time-fractional Chen-Lee-Liu equation: various optical solutions arising in optical fiber. Journal of Nonlinear Optical Physics & Materials, 33(06), 2350061.
      doi:10.1142/S0218863523500613
    4. Liao, L., Guo, Z., Gao, Q., Wang, Y., Yu, F., Zhao, Q., Maybank, S. J., Liu, Z., Li, C., & Li, L. (2023). Color image recovery using generalized matrix completion over higher-order finite dimensional algebra. Axioms, 12(10), 954.
      doi:10.3390/axioms12100954
    5. Zulfiqar, H., Aashiq, A., Tariq, K. U., Ahmad, H., Almohsen, B., Aslam, M., Rehman, H. U. (2023). On the solitonic wave structures and stability analysis of the stochastic nonlinear Schrödinger equation with the impact of multiplicative noise. Optik, 289, 171250.
      doi:10.1016/j.ijleo.2023.171250
    6. Ullah, N., Rehman, H. U., Imran, M. A., & Abdeljawad, T. (2020). Highly dispersive optical solitons with cubic law and cubic-quintic-septic law nonlinearities. Results in Physics, 17, 03021.
      doi:10.1016/j.rinp.2020.103021
    7. Kudryashov, N. A. (2019). A generalized model for description of propagation pulses in optical fiber. Optik, 189, 42-52.
      doi:10.1016/j.ijleo.2019.05.069
    8. Uddin, M. H., Khatun, M. A., Arefin, M. A., & Akbar, M. A. (2021). Abundant new exact solutions to the fractional nonlinear evolution equation via Riemann-Liouville derivative. Alexandria Engineering Journal, 60(6), 5183-5191.
      doi:10.1016/j.aej.2021.04.060
    9. Ali, E. E., Ennaceur, M., Mohammed, W. W., Algolam, M. S., & Ahmed, A. I. (2025). Investigation of new optical solutions for the fractional Schrödinger equation with time-dependent coefficients: Polynomial, random, trigonometric, and hyperbolic functions. Fractal and Fractional, 9, 142.
      doi:10.3390/fractalfract9030142
    10. Aljoudi, S. (2021). Exact solutions of the fractional Sharma-Tasso-Olver equation and the fractional Bogoyavlenskii's breaking soliton equations. Applied Mathematics and Computation, 405, 126237.
      doi:10.1016/j.amc.2021.126237
    11. Mohammed, W. W., Iqbal, N., Sidaoui, R., & Ali, E. E. (2025). Dynamical behavior of the fractional nonlinear Kadoma equation in plasma physics and optics. Modern Physics Letters B, 39, 2450434.
      doi:10.1142/S0217984924504347
    12. Korkmaz, O. E., Hepson, O., Hosseini, K., Rezazadeh, H., & Eslami, M. (2020). Sine-Gordon expansion method for exact solutions to conformable time fractional equations in RLW-class. Journal of King Saud University - Science, 32(1), 567-574.
      doi:10.1016/j.jksus.2018.08.013
    13. Wang, K. J., & Shi, F. (2024). Non-singular complexiton, singular complexiton and complex N-soliton solutions of the new extended (3+1)-dimensional Boiti-Leon-Manna-Pempinelli equation. Physica Scripta, 99(3), 035251.
      doi:10.1088/1402-4896/ad2966
    14. Wang, K. J. (2024). Multi-wave complexiton, interaction-wave and travelling wave solutions to the (2+1)-dimensional Boiti-Leon-Manna-Pempinelli equation for incompressible fluid. Pramana - Journal of Physics, 98(2), 47.
      doi:10.1007/s12043-024-02725-2
    15. Wang, K. J. (2024). N-soliton, soliton molecules, Y-type soliton, periodic lump and other wave solutions of the reduced B-type Kadomtsev-Petviashvili equation. European Physical Journal Plus, 139(3), 275.
      doi:10.1140/epjp/s13360-024-05080-8
    16. Islam, M. E., & Akbar, M. A. (2020). Stable wave solutions to the Landau-Ginzburg-Higgs equation and the modified equal width wave equation using the IBSEF method. Arab Journal of Basic and Applied Sciences, 27(1), 270-278.
      doi:10.1080/25765299.2020.1791466
    17. Mohammed, W. W., Khatun, M. M., Algolam, M. S., Sidaoui, R., & Akbar, M. A. (2025). Analytical solitary wave solutions of fractional Tzitzéica equation using expansion approach. Fractal and Fractional, 9, 438.
      doi:10.3390/fractalfract9070438
    18. Sofian, T. O., Ahmed, K. K., Ahmed, H. M., Mohammed, W. W., & Ghayad, M. S. (2025). Fractional derivative effects on soliton solutions of the (3+1)-D Kadomtsev-Petviashvili-Sawada-Kotera-Ramani model. Contemporary Mathematics, 6, 3846-5367.
    19. Murad, M. A. S., Mahmood, S. S., Emadifar, H., Mohammed, W. W., & Ahmed, K. K. (2025). Optical soliton solution for dual-mode time-fractional nonlinear Schrödinger equation by generalized exponential rational function method. Results in Engineering, 27, 105591.
      doi:10.1016/j.rineng.2025.105591
    20. Alraddadi, F., Alsharif, F., Malik, S., Ahmad, H., Radwan, T., & Ahmed, K. K. (2024). Innovative soliton solutions for a (2+1)-dimensional generalized KdV equation using two effective approaches. AIMS Mathematics, 9(12), 34966-34980.
      doi:10.3934/math.20241664
    21. Alam, N., et al. (2025). Bifurcation analysis, chaotic behaviors, and explicit solutions for a fractional two-mode Nizhnik-Novikov-Veselov equation. AIMS Mathematics, 10(3), 4558-4578.
      doi:10.3934/math.2025211
    22. Murad, M. A. S, Mustafa, M. A., Younas, U., Emadifar, H., Khalifa, A. S., Mohammed W. W., Ahmed, K. K. (2025). Soliton solutions to the generalized derivative nonlinear Schrödinger equation under multiplicative white noise and conformable derivative. Scientific Reports, 15(1), 19599.
      doi:10.1038/s41598-025-04981-7
    23. Samir, Ahmed, H. M., Emadifar, H., & Ahmed, K. K. (2025). Traveling and soliton waves in the extended (3+1)-dimensional Kadomtsev-Petviashvili equation. Partial Differential Equations in Applied Mathematics, 14, 101146.
      doi:10.1016/j.padiff.2025.101146
    24. Younas, U., Muhammad, J., Sulaiman, T. A., Ismael, H. F., Emadifar, H., Mohammed, W. W., Ahmed, K. K. (2025). Estevez-Mansfield-Clarkson equation: Investigation of breathers and solitary wave solutions. Case Studies in Thermal Engineering, 74, 106723.
      doi:10.1016/j.csite.2025.106723
    25. Shehab, M. F., Ahmed, H. M., Boulaaras, S., Osman, M. S., & Ahmed, K. K. (2025). Impact of white noise on optical solitons in the stochastic fourth-order nonlinear Schrödinger equation. Alexandria Engineering Journal, 127, 1049-1063.
      doi:10.1016/j.aej.2025.06.040
    26. Ahmed, K. K., Ahmed, H. M., Shehab, M. F., Khalil, T. A., Emadifar, H., & Rabie, W. B. (2024). Characterizing stochastic soliton behavior in (3+1)-dimensional Schrödinger equation with cubic-quintic nonlinearity. Physics Open, 21, 100233.
      doi:10.1016/j.physo.2024.100233
    27. Samir, Ahmed, K. K., Ahmed, H. M., Emadifar, H., & Rabie, W. B. (2024). Extraction of new soliton wave structures of generalized stochastic NLSE. Physics Open, 21, 100232.
      doi:10.1016/j.physo.2024.100232
    28. Gepreel, K. A., Zayed, E. M. E., Alngar, M. E. M., Biswas, A., Guggilla, P., Khan, S., Yıldırım, Y., Alzahrani, A. K., Belic, M. R. (2021). Optical solitons with Kudryashov's arbitrary form of refractive index and generalized non-local nonlinearity. Optik, 243, 166723.
      doi:10.1016/j.ijleo.2021.166723
    29. Kudryashov, N. A. (2020). Highly dispersive optical solitons with various polynomial nonlinearity law. Chaos, Solitons & Fractals, 140, 110202.
      doi:10.1016/j.chaos.2020.110202
    30. Kudryashov, N. A. (2020). Method for finding highly dispersive optical solitons of nonlinear differential equations. Optik, 206, 163550.
      doi:10.1016/j.ijleo.2019.163550
    31. Murad, M. A. S. (2024). Optical solutions with Kudryashov's arbitrary type of generalized non-local nonlinearity. Optical and Quantum Electronics, 56(6), 999.
      doi:10.1007/s11082-024-06820-x
    32. Murad, M. A. S., Arnous, A. H., Faridi, W. A., Iqbal, M., Nisar, K. S., & Kumar, S. (2024). Two algorithms for conformable time-fractional nonlinear Schrödinger equations. Optical and Quantum Electronics, 56(8), 1320.
      doi:10.1007/s11082-024-07223-8
    33. Murad, M. A. S., Ismael, H. F., Sulaiman, T. A., & Bulut, H. (2024). Optical solutions of higher-order nonlinear Schrödinger equation via Kudryashov and Bernoulli approaches. Optical and Quantum Electronics, 56(1), 76.
      doi:10.1007/s11082-023-05612-z
    34. Zayed, E.M., Shohib, R.M., Alngar, M.E., Biswas, A., Ekici, M., Khan, S., Alzahrani, A.K., & Belić, M.R. (2021). Optical solitons and conservation laws associated with Kudryashov's sextic power-law nonlinearity. Ukrainian Journal of Physical Optics, 22(1), 38-49.
      doi:10.3116/16091833/22/1/38/2021
    35. Biswas, A., Ekici, M., Dakova, A., Khan, S., Moshokoa, S. P., Alshehri, H. M., Belic, M. R. (2021). Highly dispersive optical soliton perturbation with Kudryashov's sextic-power law nonlinear refractive index by semi-inverse variation. Results in Physics, 27, 104539.
      doi:10.1016/j.rinp.2021.104539
    36. Ozisik, M., Secer, A., Bayram, M., Cinar, M., Ozdemir, N., Esen, H., Onder, I. (2023). Optical soliton solutions of higher-order nonlinear Schrödinger equation with Kudryashov nonlinear refractive index. Optik, 274, 170548.
      doi:10.1016/j.ijleo.2023.170548
    37. Xu, X. Z. (2023). Exact chirped solutions for the NLSE having Kudryashov's law with dual generalized non-local nonlinearity. Optik, 287, 171101.
      doi:10.1016/j.ijleo.2023.171101
    38. Kayum, M. A., Ara, S., Osman, M. S., Akbar, M. A., & Gepreel, K. A. (2021). Broad-range stable soliton solutions of nonlinear equations in physics and gas dynamics. Results in Physics, 20, 103762.
      doi:10.1016/j.rinp.2020.103762
    39. Miller, K. S., & Ross, B. (1993). An introduction to the fractional calculus and fractional differential equations. Wiley.
    40. Almeida, R. (2017). A Caputo fractional derivative of a function with respect to another function. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulations, 44, 460-481.
      doi:10.1016/j.cnsns.2016.09.006
    41. Khalil, R., Horani, M. A., Yousef, A., & Sababheh, M. (2014). A new definition of fractional derivative. Journal of Computational and Applied Mathematics, 264, 65-70.
      doi:10.1016/j.cam.2014.01.002
    42. Atangana, A., Baleanu, D., & Alsaedi, A. (2016). Analysis of time-fractional Hunter-Saxton equation. Open Physics, 14(1), 145-149.
      doi:10.1515/phys-2016-0010
    43. Atangana, A., & Alqahtani, R. (2016). Modelling the spread of river blindness disease via the Caputo fractional derivative and beta-derivative. Entropy, 18(2), 40.
      doi:10.3390/e18020040
    44. Ismael, H. F., Bulut, H., Baskonus, H. M., & Gao, W. (2021). Dynamical behaviors of the coupled Schrödinger-Boussinesq system with beta derivative. AIMS Mathematics, 6(7), 7909-7928.
      doi:10.3934/math.2021459
    45. Islam, M. N., Miah, M. M., Rahman, M. A., & Akbar, M. A. (2021). Closed-form wave solutions to space-time fractional nonlinear equations. Partial Differential Equations in Applied Mathematics, 3, 100024.
      doi:10.1016/j.padiff.2021.100024

    У цій статті ми досліджуємо аналітичні оптичні солітони двох варіантів просторово-часового дробово-нелінійного рівняння Шредінгера, включаючи довільний показник заломлення Кудряшова. Моделі сформульовано з використанням β-дробової похідної, яка зберігає основні властивості класичного числення. Підхід розкладання синус-Гордона використовується для отримання точних та різноманітних солітонних розв'язків, включаючи комплексні, гіперболічні та тригонометричні форми. Отримані розв'язки описують широкий спектр солітонних структур, таких як яскраві, темні, каспонові, кінкові, антикінкові, параболічні та бризерні хвилі. Детальний параметричний аналіз показує, що коефіцієнти дробового порядку та нелінійні коефіцієнти суттєво впливають на амплітуду, ширину та динаміку поширення солітона. Графічне моделювання додатково підтверджує стабільність та багату структурну різноманітність розв'язків. Порівняльні результати демонструють, що підхід розкладання синус-Гордона є придатним, точним та широко застосовним. Він також забезпечує фізично значущі хвильові структури, які кращі за кілька існуючих методів, описаних у літературі. Отримані результати підкреслюють ефективність запропонованої структури для моделювання поширення нелінійних імпульсів у дробових оптичних волоконних системах та пов'язаних із цим застосувань у нелінійній оптиці.

    Ключові слова: дробове нелінійне рівняння Шредінгера, β-дробова похідна, підхід розкладання синус-Гордона, оптичні солітони, показник заломлення Кудряшова

Free download this article 

This work is licensed under CC BY 4.0