Ukrainian Journal of Physical Optics

2024 Volume 25, Issue 5

ISSN 1609-1833 (Print)

Optical Solitons of the Generalized Stochastic Gerdjikov-Ivanov Equation in the Presence of Multiplicative White Noise

1Manar S. Ahmed, 1Ahmed H. Arnous and 2,3Yakup Yildirim

1Department of Physics and Engineering Mathematics, Higher Institute of Engineering, El-Shorouk Academy, Cairo, Egypt
2Department of Computer Engineering, Biruni University, Istanbul-34010, Turkey
3Mathematics Research Center, Near East University, 99138 Nicosia, Cyprus


The current study focuses on investigating the perturbed Gerdjikov-Ivanov equation, which includes the presence of multiplicative white noise in the Ito sense for the first time. In this study, we utilize two efficient methods for investigating the proposed model, aiming to generate bright, dark, and singular solitons. Also, the emergence and transformation of straddled solitons are available. Straddled solitons are characterized by their unique ability to convert into solitons. Moreover, we obtain Wieirstrass doubly periodic type solutions and exponential solutions. Two techniques are applied for this investigation: the enhanced Kudryashov method and the improved modified, extended tanh-function method. These techniques are utilized to address particular goals of the study, specifically those concerning solitons. These soliton solutions are used as valuable tools for investigating various phenomena in the presence of white noise. Our study addresses the impact of noise on various wave phenomena, particularly focusing on soliton solutions. Our results reveal that white noise primarily affects the phase component of solitons recovered from the governing model. Our paper presents, for the first time, the optical soliton solutions derived from the perturbed Gerdjikov-Ivanov equation under the influence of multiplicative white noise. Our study's novelty lies in applying this effect to a previously unexplored model equation and the unveiling of optical soliton solutions within this new framework. These results represent a significant advancement in understanding wave phenomena in nonlinear optical systems.

Keywords: Wiener process, Kudryashov method, stochastic Gerdjikov-Ivanov equation, noise intensity

UDC: 535.32

    1. Biswas, A. (2009). Topological 1-soliton solution of the nonlinear Schrodinger's equation with Kerr law nonlinearity in 1+ 2 dimensions. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 14(7), 2845-2847. doi:10.1016/j.cnsns.2008.09.025
    2. Ricardo, W. (1997). Inverse scattering for the nonlinear schrodinger equation. Communications in Partial Differential Equations, 22(11-12), 2089-2103. doi:10.1080/03605309708821332
    3. Zayed, E. M. E., & Zedan, H. A. (2003). On the solution of the nonlinear Schrodinger equation. Chaos, Solitons & Fractals, 16(1), 133-145. doi:10.1016/S0960-0779(02)00308-9
    4. Malomed, B. A., & Stenflo, L. (1991). Modulational instabilities and soliton solutions of a generalized nonlinear Schrodinger equation. Journal of Physics A: Mathematical and General, 24(19), L1149. doi:10.1088/0305-4470/24/19/006
    5. Kudryashov, N. A. (2023). Conservation laws of the complex Ginzburg-Landau equation. Physics Letters A, 481, 128994. doi:10.1016/j.physleta.2023.128994
    6. Arnous, A. H., Seadawy, A. R., Alqahtani, R. T., & Biswas, A. (2017). Optical solitons with complex Ginzburg-Landau equation by modified simple equation method. Optik, 144, 475-480. doi:10.1016/j.ijleo.2017.07.013
    7. Kudryashov, N. A. (2022). Exact solutions of the complex Ginzburg-Landau equation with law of four powers of nonlinearity. Optik, 265, 169548. doi:10.1016/j.ijleo.2022.169548
    8. Kudryashov, N. A. (2022). Exact solutions of the complex Ginzburg-Landau equation with law of four powers of nonlinearity. Optik, 265, 169548. doi:10.1016/j.ijleo.2022.169548
    9. Wazwaz, A. M., & Mehanna, M. (2021). Higher-order Sasa-Satsuma equation: Bright and dark optical solitons. Optik, 243, 167421. doi:10.1016/j.ijleo.2021.167421
    10. Kudryashov, N. A. (2021). Solitary waves of the generalized Sasa-Satsuma equation with arbitrary refractive index. Optik, 232, 166540. doi:10.1016/j.ijleo.2021.166540
    11. Alqahtani, R. T., Babatin, M. M., & Biswas, A. (2018). Bright optical solitons for Lakshmanan-Porsezian-Daniel model by semi-inverse variational principle. Optik, 154, 109-114. doi:10.1016/j.ijleo.2017.09.112
    12. Biswas, A., Yıldırım, Y., Yaşar, E., & Alqahtani, R. T. (2018). Optical solitons for Lakshmanan-Porsezian-Daniel model with dual-dispersion by trial equation method. Optik, 168, 432-439. doi:10.1016/j.ijleo.2018.04.087
    13. Biswas, A., Yildirim, Y., Yasar, E., Zhou, Q., Moshokoa, S. P., & Belic, M. (2018). Optical solitons for Lakshmanan-Porsezian-Daniel model by modified simple equation method. Optik, 160, 24-32. doi:10.1016/j.ijleo.2018.01.100
    14. Biswas, A., Ekici, M., Sonmezoglu, A., Triki, H., Majid, F. B., Zhou, Q., Moshokoa, S.P., Mirzazadeh, M. & Belic, M. (2018). Optical solitons with Lakshmanan-Porsezian-Daniel model using a couple of integration schemes. Optik, 158, 705-711. doi:10.1016/j.ijleo.2017.12.190
    15. El-Sheikh, M. M. A., Ahmed, H. M., Arnous, A. H., Rabie, W. B., Biswas, A., Alshomrani, A. S., Ekici, M., Zhou, Q. & Belic, M. R. (2019). Optical solitons in birefringent fibers with Lakshmanan-Porsezian-Daniel model by modified simple equation. Optik, 192, 162899. doi:10.1016/j.ijleo.2019.05.105
    16. Arshed, S. (2018). Two reliable techniques for the soliton solutions of perturbed Gerdjikov-Ivanov equation. Optik, 164, 93-99. doi:10.1016/j.ijleo.2018.02.119
    17. Kaur, L., & Wazwaz, A. M. (2018). Optical solitons for perturbed Gerdjikov-Ivanov equation. Optik, 174, 447-451. doi:10.1016/j.ijleo.2018.08.072
    18. Biswas, A., & Alqahtani, R. T. (2017). Chirp-free bright optical solitons for perturbed Gerdjikov-Ivanov equation by semi-inverse variational principle. Optik, 147, 72-76. doi:10.1016/j.ijleo.2017.08.019
    19. Onder, I., Secer, A., Ozisik, M., & Bayram, M. (2023). Investigation of optical soliton solutions for the perturbed Gerdjikov-Ivanov equation with full-nonlinearity. Heliyon, 9(2). doi:10.1016/j.heliyon.2023.e13519
    20. Zayed, E. M., Arnous, A. H., Biswas, A., Yıldırım, Y., & Asiri, A. (2023). Optical solitons for the concatenation model with multiplicative white noise. Journal of Optics, 1-10. doi:10.1007/s12596-023-01381-w
    21. Secer, A. (2022). Stochastic optical solitons with multiplicative white noise via Itô calculus. Optik, 268, 169831. doi:10.1016/j.ijleo.2022.169831
    22. Li, Z., & Peng, C. (2023). Dynamics and embedded solitons of stochastic quadratic and cubic nonlinear susceptibilities with multiplicative white noise in the Itô sense. Mathematics, 11(14), 3185. doi:10.3390/math11143185
    23. Cakicioglu, H., Ozisik, M., Secer, A., & Bayram, M. (2023). Stochastic dispersive Schrödinger-Hirota equation having parabolic law nonlinearity with multiplicative white noise via Ito calculus. Optik, 279, 170776. doi:10.1016/j.ijleo.2023.170776
    24. Zayed, E. M., Shohib, R. M., & Alngar, M. E. (2022). Dispersive optical solitons in magneto-optic waveguides with stochastic generalized Schrôdinger-Hirota equation having multiplicative white noise. Optik, 271, 170069. doi:10.1016/j.ijleo.2022.170069
    25. Zayed, E. M., Gepreel, K. A., & El-Horbaty, M. (2023). Highly dispersive optical solitons in fiber Bragg gratings with stochastic perturbed Fokas-Lenells model having spatio-temporal dispersion and multiplicative white noise. Optik, 286, 170975. doi:10.1016/j.ijleo.2023.170975
    26. Itô, K. (1944). 109. stochastic integral. Proceedings of the Imperial Academy, 20(8), 519-524. doi:10.3792/pia/1195572786
    27. Arnous, A. H. (2021). Optical solitons with Biswas-Milovic equation in magneto-optic waveguide having Kudryashov's law of refractive index. Optik, 247, 167987. doi:10.1016/j.ijleo.2021.167987
    28. Yang, Z., & Hon, B. Y. (2006). An improved modified extended tanh-function method. Zeitschrift für Naturforschung A, 61(3-4), 103-115. doi:10.1515/zna-2006-3-401
    29. Kudryashov, N. A. (2020). Traveling wave solutions of the generalized Gerdjikov-Ivanov equation. Optik, 219, 165193. doi:10.1016/j.ijleo.2020.165193
    30. Farahat, S. E., Shazly, E. E., El-Kalla, I. L., & Kader, A. A. (2023). Bright, dark and kink exact soliton solutions for perturbed Gerdjikov-Ivanov equation with full nonlinearity. Optik, 277, 170688. doi:10.1016/j.ijleo.2023.170688
    31. Wang, S. (2023). Novel soliton solutions of CNLSEs with Hirota bilinear method. Journal of Optics, 1-6. doi:10.1007/s12596-022-01065-x
    32. Kopçasız, B., & Yaşar, E. (2023). The investigation of unique optical soliton solutions for dual-mode nonlinear Schrödinger's equation with new mechanisms. Journal of Optics, 52(3), 1513-1527. doi:10.1007/s12596-022-00998-7
    33. Tang, L. (2023). Bifurcations and optical solitons for the coupled nonlinear Schrödinger equation in optical fiber Bragg gratings. Journal of Optics, 52(3), 1388-1398. doi:10.1007/s12596-022-00963-4
    34. Thi, T. N., & Van, L. C. (2023). Supercontinuum generation based on suspended core fiber infiltrated with butanol. Journal of Optics, 52(4), 2296-2305. doi:10.1007/s12596-023-01323-6
    35. Li, Z., & Zhu, E. (2023). Optical soliton solutions of stochastic Schrödinger-Hirota equation in birefringent fibers with spatiotemporal dispersion and parabolic law nonlinearity. Journal of Optics, 1-7. doi:10.1007/s12596-023-01287-7
    36. Han, T., Li, Z., Li, C., & Zhao, L. (2023). Bifurcations, stationary optical solitons and exact solutions for complex Ginzburg-Landau equation with nonlinear chromatic dispersion in non-Kerr law media. Journal of Optics, 52(2), 831-844. doi:10.1007/s12596-022-01041-5
    37. Tang, L. (2023). Phase portraits and multiple optical solitons perturbation in optical fibers with the nonlinear Fokas-Lenells equation. Journal of Optics, 1-10. doi:10.1007/s12596-023-01097-x
    38. Nandy, S., & Lakshminarayanan, V. (2015). Adomian decomposition of scalar and coupled nonlinear Schrödinger equations and dark and bright solitary wave solutions. Journal of Optics, 44, 397-404. doi:10.1007/s12596-015-0270-9
    39. Chen, W., Shen, M., Kong, Q., & Wang, Q. (2015). The interaction of dark solitons with competing nonlocal cubic nonlinearities. Journal of Optics, 44, 271-280. doi:10.1007/s12596-015-0255-8
    40. Xu, S. L., Petrović, N., & Belić, M. R. (2015). Two-dimensional dark solitons in diffusive nonlocal nonlinear media. Journal of Optics, 44, 172-177. doi:10.1007/s12596-015-0243-z
    41. Dowluru, R. K., & Bhima, P. R. (2011). Influences of third-order dispersion on linear birefringent optical soliton transmission systems. Journal of Optics, 40, 132-142. doi:10.1007/s12596-011-0045-x
    42. Singh, M., Sharma, A. K., & Kaler, R. S. (2011). Investigations on optical timing jitter in dispersion managed higher order soliton system. Journal of Optics, 40, 1-7. doi:10.1007/s12596-010-0021-x
    43. Janyani, V. (2008). Formation and Propagation-Dynamics of Primary and Secondary Soliton-Like Pulses in Bulk Nonlinear Media. Journal of Optics, 37, 1-8. doi:10.1007/BF03354831
    44. Hasegawa, A. (2004). Application of Optical Solitons for Information Transfer in Fibers-A Tutorial Review. Journal of Optics, 33(3), 145-156. doi:10.1007/BF03354760
    45. Mahalingam, A., Uthayakumar, A., & Anandhi, P. (2013). Dispersion and nonlinearity managed multisoliton propagation in an erbium doped inhomogeneous fiber with gain/loss. Journal of Optics, 42, 182-188. doi:10.1007/s12596-012-0105-x

    Це дослідження спрямоване на вивчення збуреного рівняння Герджикова-Іванова, яке включає мультиплікативний білий шум в сенсі Іто. Ми використовуємо два ефектив¬них методи для дослідження запропонованої моделі з метою генерації світлих, темних та сингулярних солітонів. Крім того, виявлено виникнення та трансформація розмежованих солітонів Розмежовані солітони характеризуються своєю унікальною здатністю перетворюватися у солітони. Крім того, ми отримали розв’язки подвійно періодичного типу Вейерштрасса та експоненціальні розв’язки. Для цього дослідження застосовуються дві методики: покращений метод Кудряшова та покращений модифікований метод розширеної функції гіперболічного тангенсу. Ці методи використовуються для досягнення конкретних цілей дослідження, зокрема тих, що стосуються солітонів. Ці солітонні розв’язки використовуються як цінні інструменти для вивчення різних явищ за наявності білого шуму. Наше дослідження стосується впливу шуму на різні хвильові явища, особливо зосереджуючись на солітонних рішеннях. Результати демонструють, що білий шум, в першу чергу, впливає на фазову складову солітонів, отриманих з моделі. У нашій роботі вперше представлені оптичні солітонні розв’язки, отримані зі збуреного рівняння Герджикова-Іванова під впливом мультиплікативного білого шуму. Новизна нашого дослідження полягає в застосуванні цього ефекту до раніше не дослідженого рівняння моделі та розкритті рішень оптичних солітонів у цій новій структурі. Ці результати є значним прогресом у розумінні хвильових явищ у нелінійних оптичних системах.

    Ключові слова: процес Вінера, метод Кудряшова, стохастичне рівняння Герджикова–Іванова, інтенсивність шуму

© Ukrainian Journal of Physical Optics ©